凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)。那么勾股數(shù)有什么規(guī)律嗎？下面和小編一起了解一下吧，供大家參考。

1、第一組勾股數(shù)

3，4，5

5，12，13

7，24，25

9，40，41

11，60，61

13，84，85

15，112，113

首先發(fā)現(xiàn)其最小值為奇數(shù)，而另外兩數(shù)是延續(xù)正整數(shù)。

我們用乘方進行嘗試。先給臨時沒看出關(guān)系的最小值進行乘方。

32=9，52=25，72=49

大家有沒有發(fā)現(xiàn)，在第一列數(shù)據(jù)中，每組數(shù)的較大兩數(shù)之和正好等于這組數(shù)最小值的平方。即：

32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25

我們再試幾組進行驗證。

92=81=40+41，112=121=60+61

目前看來這個規(guī)律是正確的。我們再次注意到開始時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：第一列中每組數(shù)較大兩數(shù)差為一。那么總結(jié)這兩點就可初步發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

一個正奇數(shù)(除1外)與兩個和等于此正奇數(shù)平方的延續(xù)正整數(shù)是一組勾股數(shù)。

設(shè)n為一正奇數(shù)(n≠1)，那么以n為最小值的一組勾股數(shù)可以是:n，(n2-1)/2，(n2+1)/2。

2、第二組勾股數(shù)

6，8，10

8，15，17

10，24，26

12，35，37

14，48，50

16，63，65

18，80，82

我們?nèi)绶ㄅ谥?，首先發(fā)現(xiàn)第二組數(shù)據(jù)均以偶數(shù)為最小數(shù)，而另外兩數(shù)是差為2的正整數(shù)。似乎也只能看出這么多，那我們繼續(xù)用最小數(shù)乘方對比另外兩數(shù)之和進行嘗試。

62=36，10+8=18

82=64，15+17=32

102=100，24+26=50

這次好像是后兩數(shù)之和的二倍等于最小數(shù)平方？我們進行更多嘗試。

122=144=2(35+37)，142=196=2(48+50)

初步看來規(guī)律正確，那我們還是用代數(shù)式驗證一下普遍性吧：

設(shè)m為一正偶數(shù)(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m為最小值的一組勾股數(shù)可以是：

m，(m2/4)-1，(m2/4)+1

驗證：[(m2/4)+1]2-[(m2/4)-1]2

=[(m2/4)2+m2/2+1]-[(m2/4)2-m2/2+1]

=(m2/4)2+m2/2+1-(m2/4)2+m2/2-1

=m2

驗證成功，可總結(jié)為以下規(guī)律：

當一個正偶數(shù)為最小值時，它(除0,2和4)與兩個和之二倍等于此正偶數(shù)平方的差為一的正整數(shù)是一組勾股數(shù)。

設(shè)m為一正偶數(shù)(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m為最小值的一組勾股數(shù)可以是：m，(m2/4)-1，(m2/4)+1。

3、特別的勾股數(shù)規(guī)律

①12，16，20②18，24，30

首先根據(jù)勾股定理可以推斷它們都是勾股數(shù)。但是仔細觀察，我們發(fā)現(xiàn)它們每組的三個數(shù)都是一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍。

3，4，5分別乘4得12，16，20

6，8，10分別乘3得18，24，30

一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是一組勾股數(shù)嗎？我們還是用代數(shù)式驗證一下：

任意一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是一組勾股數(shù)嗎？我們還是用代數(shù)式驗證一下：

設(shè)a2+b2=c2，則a，b，c分別乘n后為:

(na)2+(nb)2

=n2a2+n2b2

=n2(a2+b2)

=n2c2

=(nc)2

總結(jié)規(guī)律為一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍還是一組勾股數(shù)。