反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的兩條曲線,反比例函數(shù)圖象中每一象限的每一條曲線會(huì)無限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（y≠0）。

反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對(duì)稱軸是角分線，x、y的順序可交換。

當(dāng)k>0時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)k<0時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)，兩個(gè)分支無限接近x和y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸和y軸相交.

圖象畫法

1）列表

x...-3 -2 -1 1 2 3 4 ...

y...-4 -6 -12 12 6 4 3 ...

2）在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)（一般標(biāo)5個(gè)點(diǎn)，稱為5點(diǎn)作圖法）。

3）用平滑的曲線連接點(diǎn)。

當(dāng)K>0時(shí)，在圖象所在的每一象限內(nèi)，Y隨X的增大而減小。

當(dāng)K<0時(shí)，在圖象所在的每一象限內(nèi)，Y隨X的增大而增大。

當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)那么曲線呈彎月型。

k的意義及應(yīng)用

過反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)P（x,y），作兩坐標(biāo)軸的垂線，兩垂足、原點(diǎn)、P點(diǎn)組成一個(gè)矩形，矩形的面積為|k|。過反比例函數(shù)圖象一點(diǎn)，作任一坐標(biāo)軸的垂線，并連接原點(diǎn)，圍成的三角形的面積為|k|/2。

研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征。反比例函數(shù)中，比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為|k|。

所以，對(duì)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。這個(gè)常數(shù)是k的絕對(duì)值。在解有關(guān)反比例函數(shù)的問題時(shí)，若能靈便運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，會(huì)給解題帶來很多方便。

單調(diào)性

當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，每一個(gè)象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而減小；

當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，每一個(gè)象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而增大。

k>0時(shí)，函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。

相交性

因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

面積

在一個(gè)反比例函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|，

反比例函數(shù)上一點(diǎn) 向x 、y 軸分別作垂線，分別交于y軸和x軸，則QOWM的面積為|k|，則連接該矩形的對(duì)角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=?|k|。

圖像表達(dá)

反比例函數(shù)圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。

k值相等的反比例函數(shù)圖象重合，k值不相等的反比例函數(shù)圖象永不相交。

|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。

對(duì)稱性

反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；反比例函數(shù)的圖象也是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為y=x或y=-x；反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù) 交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=±x軸對(duì)稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。

來源：高三網(wǎng)