函數(shù)延續(xù)是指函數(shù)y=f（x）當(dāng)自變量x的變化很小時(shí)，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣溫隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化足夠短，位移的變化也是很小的。

對(duì)于延續(xù)性，在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是延續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的延續(xù)性。簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像你可以一筆畫出來(lái)，整個(gè)過(guò)程不用抬筆，那么這個(gè)函數(shù)就是延續(xù)的。

延續(xù)函數(shù)的定理

定理一：在某點(diǎn)延續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和、差、積、商（分母不為0） 運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)延續(xù)的函數(shù)。

定理二：延續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）函數(shù)的反函數(shù)，也延續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）。

定理三：延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是延續(xù)的。

這些性質(zhì)都可以從延續(xù)的定義以及極限的相關(guān)性質(zhì)中得出。

不延續(xù)是不能同時(shí)滿足延續(xù)的三個(gè)條件的點(diǎn)

1、函數(shù)在該點(diǎn)處沒有定義；

2、若函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限不存在；

3、雖然函數(shù)在該點(diǎn)處有定義，極限也存在，但是二者不相等。

來(lái)源：高三網(wǎng)