通常求特征值和特征向量即為求出該矩陣能使哪些向量（固然是特征向量）只發(fā)生拉伸，使其發(fā)生拉伸的程度如何（特征值大?。?。這樣做的意義在于看清一個(gè)矩陣在那些方面能產(chǎn)生最大的效果，并根據(jù)所產(chǎn)生的每個(gè)特征向量（一般研究特征值最大的那幾個(gè)）進(jìn)行分類(lèi)討論與研究。

求特征向量：

一旦找到特征值λ，相應(yīng)的特征向量可以通過(guò)求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v為待求特征向量，I為單位陣。

沒(méi)有實(shí)特征值的一個(gè)矩陣的例子是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

數(shù)值計(jì)算：

在實(shí)踐中，大型矩陣的特征值無(wú)法通過(guò)特征多項(xiàng)式計(jì)算，計(jì)算該多項(xiàng)式本身相當(dāng)費(fèi)資源，而精確的“符號(hào)式”的根對(duì)于高次的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)很難計(jì)算和表達(dá)：阿貝爾－魯費(fèi)尼定理顯示高次（5次或更高）多項(xiàng)式的根無(wú)法用n次方根來(lái)簡(jiǎn)單表達(dá)。對(duì)于估算多項(xiàng)式的根的有效算法是有的，但特征值的小誤差可以導(dǎo)致特征向量的巨大誤差。求特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即特征值的一般算法，是迭代法。最簡(jiǎn)單的方法是冪法：取一個(gè)隨機(jī)向量v，然后計(jì)算一系列單位向量。

這個(gè)序列幾乎總是收斂于絕對(duì)值最大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。這個(gè)算法很簡(jiǎn)單，但是本身不是很實(shí)用。但是，象QR算法這樣的算法正是以此為基礎(chǔ)的。

特征向量是一個(gè)非簡(jiǎn)并的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱(chēng)為其特征值（本征值）。特征值是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要概念。

線(xiàn)性變換通常可以用其特征值和特征向量來(lái)完全描述。特征空間是一組特征值相同的特征向量?！疤卣鳌币辉~來(lái)自德語(yǔ)的eigen。

希爾伯特在1904年第一次用這個(gè)詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過(guò)該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個(gè)體的”，這顯示了特征值對(duì)于定義特定的線(xiàn)性變換的重要性。

來(lái)源：高三網(wǎng)