矩陣等價的充要條件是同型矩陣且秩相等。相似必然等價，等價不一定相似。兩矩陣等價，秩相等，列向量，行向量極大線性無關組數(shù)相等。

1.矩陣A和A等價(反身性）；

2.矩陣A和B等價，那么B和A也等價(等價性）；

3.矩陣A和B等價，矩陣B和C等價,那么A和C等價（傳遞性）；

4.矩陣A和B等價，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

5.具有行等價關系的矩陣所對應的線性方程組有相同的解

6.對于相同大小的兩個矩形矩陣，它們的等價性也可以通過以下條件來表征：（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。（2）當且僅當它們具有相同的秩時，兩個矩陣是等價的。

根據(jù)矩陣等價的充要條件，兩個矩陣有相同的秩，可知n階方陣A與單位方陣E等價的充要條件是：A秩=E秩=n。

也就是說A可以通過有限次初等變換得到E，而|E|=1. 由行列式初等變換的原理，可以知道，必存在一個非零的數(shù)k，使得|A|=k|E|不等于0，因此|A|不等于0是A和E等價的充要條件。

我們可以由兩個矩陣等價推出：

1、它們有相同的行數(shù)和列數(shù)；

2、它們的秩相同；

3、它們與同一標準型矩陣等價；

4、如果它們是同階方陣，則它們所對應的行列式同時等于0或同時不等于0；

5、可以通過有限次初等變換，由其中一個矩陣得到另外一個矩陣。

來源：高三網(wǎng)