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有理數(shù)的概念

有理數(shù)是指兩個整數(shù)之比。有理數(shù)是一組整數(shù)和分?jǐn)?shù)。整數(shù)也可以看作是分母為1的分?jǐn)?shù)。有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或無限循環(huán)數(shù)。

有理數(shù)是實數(shù)的緊子集：每個實數(shù)都有一個任意接近的有理數(shù)。一個相關(guān)的性質(zhì)是，只有有理數(shù)可以轉(zhuǎn)化為有限連通分?jǐn)?shù)。根據(jù)它們的順序，有理數(shù)有一個有序的拓撲。有理數(shù)是實數(shù)的(稠密)子集，因此它同時具有子空間拓撲。

有理數(shù)集

有理數(shù)集，即所有有理數(shù)的集合，用粗體字母q表示，有理數(shù)集是實數(shù)集的子集。有理數(shù)集是無限集，沒有最大值和最小值。有理數(shù)集是一個可以進行四次運算的域(除數(shù)為0的除外)，對于這些運算，下列運算法則成立(A、B、C等)。全部代表任意有理數(shù)):

1.加法的交換律：[a b=b a]

2.加法的結(jié)合律：[a (b c)=(a b) c]

3.有加法的單位元素0，所以[0 a=a 0=a=a]

4.對于任意有理數(shù)A，都有一個加法逆元，表示為-a，這樣[a (-a)=(-a) a=0]

5.乘法的換向定律：[ab=ba]

6.乘法的結(jié)合律；【a(b)c)=(a b)c】

7.乘法的分布規(guī)律：[a(b c)=ab ac]

8.乘法有單位元1，所以對于任意有理數(shù)A，都有[1a=a1=a]

9.對于不是0的有理數(shù)A，有乘法1/a的逆元素，這樣[1/aa=a1/a=1]

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